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超越数

超越数(transcendental number),即不能满足任何整系数多项式方程的数。

来自2010/12/03/-12/05/ 小宇宙百科10337-10339

沈迦勒/编 吴悠/配图

超越数(transcendental number)即不能满足任何整系数多项式方程的数。相对地,若一个数能满足某个整系数多项式方程,则称它为代数数。超越数的概念,首次出现在1748年欧拉的著作《无穷分析引论》中。他在该书中未加证明地给出了一个关于超越数的断言。而历史上第一个证明了超越数存在性的是法国数学家刘维尔,他于1851年构造了一个“刘维尔数”:0.110001000000000000000001000…并成功地证明了它是一个超越数。刘维尔数构造出来之后二十多年,集合论的创始人康托证明了:代数数可列(可列,即个数与自然数集能一一对应),进一步得到一个结论:必定存在不是代数数的复数(即超越数)!这是关于超越数存在性的第一个非构造性证明,他并没给出超越数实例便证明了他们的存在。

(数学家欧拉)

一般情况下,我们考虑具体对象比考虑抽象对象容易多,但在数学中,有时却恰相反:证明某个具体的数是超越数远比非构造性地证明超越数的存在性更为困难和复杂。继刘维尔之后,数学家们为了证明某些具体的数的超越性付出了种种努力:1873年,法国数学家埃尔米特证明了e是超越数。1882年,德国数学家林德曼证明了π是超越数。1900年国际数学家大会上希尔伯特提出23个问题中第7个就是关于超越数的问题,他推测2^√2、e^π是超越数。他本人对超越数问题下苦功未果后,深感此问题困难与重要,在会上发表如下演讲:“…这第七问题是非常难的,短期内恐不易解决。我在有生之年也许有幸可以看到黎曼假设的解决,在座有人可能可以目睹费马定理的解决;但今天这里没有一个人能看到第七问题的答案!”然而事实并非如此。

1929年,有人证明了2^√2是超越数。1930年,e^π也被证明是超越数。证明某些数是超越数有重大的意义,比如π的超越性的证明就彻底证明了古希腊三大作图问题中的化圆为方问题是不可能的(另两个早已解决)。然而判断一个数是否是超越数实在太困难了。为了获得上述结果,一个多世纪以来,数学家们付出了艰苦的劳动。即便如此,这个领域仍旧迷雾重重。比如说,现在人们仍然无法断定像e+π和这样的数是否是超越数。而且根据康托的结论,人们所知甚少的超越数的个数竟比代数数还要多得多!

(国际数学家大会纪念邮票:德国邮政发行,纪念1998 年在德国的柏林召开的第23届国际数学大会。邮票主图是“矩形求方”问题的一种解法。衬底图案和边纸上都是无理数π的小数形式。)

在古希腊时代,勾股定理没有发现之前,数学家们只知道有有理数,也只谈有理数。但毕达哥拉斯指出等腰直角三角形斜边为无理数,这个发现震撼了当时的数学界,整个的几何理论为之动摇,彷佛数学的末日来临一般。事实上,数学的历史并没有因为一个定理的发现而告终,反而觉悟到以前认知的错误而寻觅到完整的新观念取而代之,使数学走向更光明的境界。有人读了这么多之后不禁要发问:“为什么要研究超越数呢?”我只想说出我的感觉:当你步向一个光辉耀目的远景的时候,路旁必也有无数美丽的鲜花供路人欣赏和采摘。数学,就是这般纯粹。

沈 迦勒/编·从蒸汽机到组织行为学

编者 沈迦勒

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