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【Q】&【A】什么是无理数什么是有理数?

在数学上,数可分为实数和虚数,其中实数包括有理数和无理数。其中无理数就是无限不循环小数,有理数包括整数和分数。

来自2013/01/18/ 小宇宙百科13018

清凌/编 雨璇/配图

【Q】elaine 问:什么是无理数什么是有理数?为什么分数是有理数而根号2就是无理数?

【A】清凌答:有理数包括整数、有限小数、无限循环小数,是由整数扩展而来的,当人们发现整数不够用的时候,就使用了整数间的除法,于是所以的有理数就都可以表示为分数的形式。无理数就是我们常说的无限不循环小数,包括大部分数的平方根、π和e,都是不能用分数来表示的。无理数的出现导致了第一次数学危机,最初在古希腊毕达哥拉斯时期,根据毕达哥拉斯定理(即勾股定理)有m^2+n^2=c^2,如果设想m=n=1,那么c的值应当如何用当时通用的分数表示呢?假设√2=m/n,m/n是一个既约分数(已经不能再约分),那么m、n中必有一个是奇数(如果两个都为偶数的话就还可以约分)。两边平方有2=m^2/n^2,2n^2=m^2,所以m^2为偶数,然后根据偶偶得偶,则m必须为偶数必为偶数。令m=2p,代入后得到2n^2=4p^2,n^2=2p^2,同理得出n也必须为偶数。

如此一来,就与必有一个奇数矛盾,所以前提错误,所以√2是不能用一个分数表示的。也就是说,无论我们采用什么样的长度单位,总会有一些长度对于那个单位不能具有确切的数目关系,这就产生了所谓的“不可公度量”的难题。显然上述√2的长度一定是可以在数轴上表示的,这就说明了有理数并没有布满数轴,是不完备的。这对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响,促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明。直到十九世纪德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数,并把实数理论建立在严格的科学基础上,从而结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机。清凌/编•从勾股定理到哥德巴赫猜想

编者 清凌

热爱星空的理工女~

文章评论 (5)

  • 清凌 2013-01-19 16:25:23
    雨旋,这个第二张图是神马?木有看明白。。。
  • 沈迦勒 2013-01-19 21:12:20
    @雨璇 我也没明白,看起来像古希腊人的世界观?
  • 雨璇 2013-01-21 15:54:34
    回复@沈迦勒: 回复@清凌: 第二张图我找了N久啊都找不到合适的……后来 我就百度了 不可公度量 ,然后出来了一个数学家叫尤得塞斯,然后看起来就像是用个什么方法来解决了个什么问题,然后看着这张图还挺好看的,就放上去了

    引用 @沈迦勒 的评论:

    @雨璇 我也没明白,看起来像古希腊人的世界观?

  • 清凌 2013-01-21 16:16:54
    回复@雨璇: 百度了一下发现这张图是尤得塞斯的宇宙模型,@沈迦勒 是对的。。。
    这个稿子确实蛮不好配图的。。。

    引用 @雨璇 的评论:

    回复@沈迦勒: 回复@清凌: 第二张图我找了N久啊都找不到合适的……后来 我就百度了 不可公度量 ,然后出来了一个数学家叫尤得塞斯,然后看起来就像是用个什么方法来解决了个什么问题,然后看着这张图还挺好看的,就放上去了

  • 雨璇 2013-01-22 10:29:37
    回复@清凌: 挖~居然是宇宙模型?我以为是跟球体体积什么的有关呢,@沈迦勒 火眼金睛啊~

    引用 @清凌 的评论:

    回复@雨璇: 百度了一下发现这张图是尤得塞斯的宇宙模型,@沈迦勒 是对的。。。
    这个稿子确实蛮不好配图的。。。

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